Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Chia sẻ chuyên mục Đề Tài Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein hay nhất năm 2022 cho các bạn học viên ngành đang làm khóa luận tham khảo nhé. Với những bạn chuẩn bị làm bài khóa luận tốt nghiệp thì rất khó để có thể tìm hiểu được một đề tài hay, đặc biệt là các bạn học viên đang chuẩn bị bước vào thời gian lựa chọn đề tài làm khóa luận thì với đề tài Khóa luận: Thống kê Bose – Einstein và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt dưới đây chắc hẳn sẽ cho các bạn cái nhìn tổng quát hơn về đề tài này.

LỜI MỞ ĐẦU

1. Lý do lựa chọn đề tài

Cùng với sự phát triển nhanh chóng của nền văn minh nhân loại vật lý học cũng phát triển một cách không ngừng, trải qua nhiều giai đoạn và đạt đƣợc rất nhiều thành tựu khoa học đáng kể.Vật lý thống kê là một bộ phận trong vật lý hiện đại. Vật lý thống kê gồm vật lý thống kê cổ điển và vật lý thống kê lƣợng tử, vật lí thống kê lƣợng tử tổng quát hơn, chặt chẽ hơn vật lí thống kê cổ điển. Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Nhắc đến vật lí hiện đại chúng ta nghĩ ngay đến nhà bác học Anh-xtanh (1879-1955) là nhà vật lý lý thuyết ngƣời Đức, ngƣời đã phát triển thuyết tƣơng đối tổng quát, một trong hai trụ cột của vật lý hiện đại.

Vật lý thống kê là ngành vật lý ngiên cứu hệ nhiều hạt. Từ việc nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ với các tính chất và các định luật chuyển động của hạt vi mô tạo nên hệ bằng các phƣơng pháp thống kê. Hiện nay, các phƣơng pháp của vật lí thống kê đƣợc áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của vật lí hiện đại kể từ các vật ngƣng tụ cho đến lý thuyết các hạt cơ bản.Thông qua việc tìm hiểu các thống kê lƣợng tử ngƣời ta áp dụng để ngiên cứu những tính chất và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt. Trên đây là cơ sở để tôi lựa chọn đề tài: “ Thống kê Bose – Einstein và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt” để có cái nhìn tổng quan hơn, sâu sắc hơn về tính chất của hệ nhiều hạt và sự hứng thú giải quyết các bài tập trọng tâm. Từ đó, vận dụng vào thực tiễn khơi dậy niềm đam mê đối với bộ môn Vật lý và nhận thấy đƣợc những ứng dụng to lớn của vật lý đối với các ngành khoa học khác.

Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu, hệ thống lí thuyết thống kê Bose – Einstein.
• Tìm hiểu các ứng dụng trong hệ nhiều hạt.
• Áp dụng thống kê Bose – Einstein để nghiên cứu một số hiện tƣợng vật lí mới.

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM ĐẾN DỊCH VỤ:

===>>> Viết Thuê Khóa Luận Tốt Nghiệp Chất Lượng Cao

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Các hạt đồng nhất Boson.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

• Áp dụng thống kê Bose – Einstein vào hệ lƣợng tử
• Nghiên cứu các ứng dụng trong hệ nhiều hạt.

4. Phương pháp nghiên cứu

• Đọc và nghiên cứu các tài liệu tham khảo.
• Phương pháp vật lí lí thuyết.
• Phương pháp thống kê.

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN

1.1 Hệ nhiều hạt và phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

1.1.1 Khái quát hệ nhiều hạt

Hệ nhiều hạt là hệ gồm hai hạt trở lên. Chúng ta khảo sát trong bài toán hệ nhiều hạt có thể là các nguyên tử, phân tử, ion, electron, photon, neutron trong các hạt nhân lớn… Hiểu nôm na là hệ có các bậc tự do lớn. Việc gia tăng thêm số hạt trong hệ sẽ dẫn đến sự thay đổi tính chất của hệ tạo nên những đặc điểm mới cho hệ nhiều hạt. Bài toán hệ nhiều hạt thực chất là bài toán của hệ phƣơng trình Hamilton (cho hệ cổ điển) hay phƣơng trình Shrodinger (cho hệ lƣợng tử).

Khảo sát theo quan điểm cơ học cổ điển.

Xét 1 hệ gồm có N hạt tự do, khảo sát không gian pha tức không gian 2Nf chiều đối với hệ có f bậc tự do.

Trong trƣờng hợp đơn giản f = 3, trạng thái của hệ đƣợc diễn tả bằng 3N tọa độ và 3N vận tốc. Ta cũng biết rằng trạng thái của hệ đƣợc diễn tả bằng 3N tọa độ suy rộng, 3N xung lƣợng suy rộng:

Với T(q,p) và U(q,p) lần lượt là động năng, thế năng của hệ.

Để xác định đƣợc trạng thái của hệ N hạt ở thời điểm bất kì ta cần phải biết 6N

Mỗi trạng thái của hệ đƣợc gọi là một điểm pha (q,p). Do sự chuyển động không ngừng của các hạt trong hệ khiến tọa độ và xung lượng của hệ luôn biến đổi theo thời gian, do đó điểm pha của hệ di chuyển vẽ nên quỹ đạo pha.

1.1.2 Các phương pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt.

Đối với hệ nhiều hạt (N ≥ 2), một trong những khó khăn khi nghiên cứu đó là có biến số lớn(3N). Vì vậy, ta dựa vào các đặc trƣng khác nhau của hệ để có thể lựa chọn các phƣơng pháp giải bài toán phù hợp. Về nguyên tắc, ta chỉ cần giải một số phƣơng trình nhất định, tìm 6N điều kiện ban đầu của hệ là bài toán sẽ đƣợc giải quyết. Tuy nhiên, trong thực tế ta còn gặp phải rất nhiều khó khăn.Vì vậy,đơn giản nhất, căn bản nhất là áp dụng các phƣơng pháp thống kê.

1.2 Tổng quan trạng thái của hệ hạt Boson

1.2.1 Giới thiệu về hệ hạt Boson Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Boson đƣợc đặt theo tên nhà vật lý học ngƣời Ấn Độ Satyendra Nath Bose. Boson là tất cả các loại hạt có spin nguyên (0, ±1, ±2…) tất cả các hạt trong tự nhiên đều đƣợc chia làm hai loại: boson và fermion. Boson có thể nằm cùng một trạng thái lƣợng tử, không tuân theo nguyên lý Pauli. Theo lý thuyết thống kê spin, Boson lấy các giá trị nguyên. Chúng là loại hạt duy nhất tuân theo thống kê Bose – Einstein.

1.2.2 Đặc trưng của hệ hạt Boson

Trong tự nhiên, các hạt tạo nên từ các hạt cơ bản hơn nhƣ proton hay hạt nhân nguyên tử cũng thuộc nhóm Boson hoặc Fermion tùy thuộc vào tổng spin của chúng.

Boson là nhóm các hạt sơ cấp có spin nguyên, tuân theo thống kê Bose – Einstein, bao gồm các hạt mang tƣơng tác điện từ (Photon), tương tác yếu (Boson W và Z), tương tác mạnh (Gluon), tương tác hấp dẫn ( Graviton) và hạt Higgs.

Boson W hay hạt W là một hạt cơ bản có khối lƣợng bằng 160.000 lần khối lƣợng của electron hay khoảng 80 lần khối lƣợng của proton hay neutron tƣơng đƣơng với khối lƣợng của nguyên tử Brôm. Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Boson W là hạt mang điện tích hoặc -1 hoặc +1. Chúng là phản hạt của nhau, nhƣng cả hai đều không là hạt vật chất. Boson W là hạt truyền tƣơng tác trong tƣơng tác yếu, và tồn tại ở một thời gian cực ngắn, chỉ khoảng 3.10^-25 giây sau đó phân rã sang các dạng khác.

Boson W phân rã tạo thành hoặc là một quark, hoặc là 1 phản quark có điện tích khác hoặc là một lepton điện tích hay phản neutrino.

Biểu đồ Feynman cho thấy sự trao đổi cặp Boson W. Đây là một trong các ví dụ về sự dao động của hạt trung hòa điện Kaon.[Ảnh Internet]

Boson Z hay hạt Z là một hạt cơ bản, có khối lƣợng khoảng 91 GeV/c², tƣơng đƣơng với khối lƣợng của nguyên tử Zirconium. Boson Z là hạt trung hòa và không có sự khác biệt trong số lƣợng tử. Vì vậy, phản hạt của boson Z chính là boson Z.

Boson Z là hạt trung gian trong tƣơng tác yếu và không làm ảnh hƣởng đến điện tích, do khối lƣợng của boson Z là rất lớn so với khối lƣợng của photon; trong lớp năng lƣợng thấp các hiệu ứng trao đổi boson Z là bé nếu so sánh với sự trao đổi photon. Boson Z đƣợc tạo ra bởi quá trình va chạm của electron và positron- phản hạt của electron. Năng lƣợng của vụ va chạm này vừa đủ để sinh ra một boson Z và đã đƣợc nghiên cứu trong máy va chạm tuyến tính ở SLAC.

Theo mô hình chuẩnmột lý thuyết Gauge, lực giữa các fermion đƣợc mô hình hóa bằng cách tạo ra các boson, có tác dụng nhƣ các thành phần trung gian. Hệ Lagrange của mỗi tập hợp hạt boson trung gian không thay đổi dƣới một dạng biến đối gọi là biến đổi gauge, vì thế các boson này còn đƣợc gọi là Gauge boson. Gauge boson là các hạt cơ bảnmang tƣơng tác cơ bản. Chúng là W boson của lực hạt nhân yếu, gluon của lực hạt nhân mạnh, photon của lực điện từ, và graviton của lực hấp dẫn.[5]

1.3 Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein

1.3.1.Thống kê Bose – Einsstein Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Albert Einstein (1879 – 1955) là nhà vật lý học ngƣời Đức. Trong suốt cuộc đời, ông đã xuất bản rất nhiều sách và hàng trăm bài báo về vật lý, về chính trị.

Trong vật lý,ông là ngƣời đã phát triển thuyết tƣơng đối tổng quát một trụ cột của vật lý hiện đại.

Khi bắt đầu sự nghiệp ông đã nhận ra cơ học Newton không còn thống nhất các định luật của cơ học cổ điển với các định luật của trường điện từ. Từ đó, ông phát triển thuyết tương đối đặc biệt thông qua các bài báo đăng năm 1905.

Năm 1916, ông cho ra đời lý thuyết về hấp dẫn, xuất bản một bài báo về thuyết tƣơng đối tổng quát.

Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết tƣơng đối tổng quát miêu tả mô hình cấu trúc của toàn thể vũ trụ.

Năm 1921, ông đƣợc trao giả Nobel Vật Lý “Cho những cống hiến của ông đối với vật lí lí thuyết, và đặc biệt cho sự khám phá ra định luật của hiệu ứng quang điện”.Ngoài những nghiên cứu của bản thân ông còn hợp tác với rất nhiều các nhà khoa học khác để tạo ra các nghiên cứu mới nhƣ thống kê Bose – Einsstein, máy làm lạnh Einstein và nhiều ngiên cứu khác…

Năm 1924, Einstein nhận đƣợc một miêu tả về mô hình thống kê từ nhà vật lý học ngƣời Ấn Độ Satyendra Nath Bose trên cơ sở một phƣơng pháp đếm với giả sử ánh sáng có thể đƣợc hiểu là khí của các hạt không thể phân biệt đƣợc.

Thống kê Bose – Einstein do Satyendra Nath Bose phát triển, Albert Einstein ủng hộ và mở rộng ra đối với các hạt có khối lƣợng và spin nguyên. Thống kê này chỉ áp dụng cho các hạt không bị giới hạn ở vị trí chiếm giữ trong một trạng thái hay các hạt không tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli. Những hạt này đƣợc các nhà vật lý gọi chung là Boson.

1.3.2 Hàm phân bố thống kê Bose – Einstein Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Chúng ta xét hệ có N hạt thay đổi, áp dụng công thức chính tắc lƣợng tử lớn[2]:

Vậy phân bố chính tắc lượng tử lớn có dạng: ∑   ∑

Ta đặt

Khi đó phân bố đƣợc viết lại dƣới dạng:

Trong trƣờng hợp tổng quát có thừa số G vì có khả năng xuất hiện các trạng thái vật lí mới khi chúng ta hoán vị (về tọa độ) các hạt.

Đối với hệ boson là hệ đƣợc mô tả bằng hàm sóng đối xứng nên các phép hoán vị về tọa độ không làm xuất hiện trạng thái vật lí mới nên khi đó:

Từ định lí xác suất ta có thể tìm đƣợc số hạt trung bình trên mức năng lượng bất kì:

Từ đó:

Theo (1.18) ta có phân bố của các số chứa đầy trung bình:

Chú ý đến sự suy biến năng lƣợng ở mức và                  ,

Công thức (1.22) đƣợc gọi là công thức của thống kê Bose – Einstein 1.4 Giới hạn áp dụng của hàm phân bố thống kê Boson – Einstein

Thống kê Bose – Einstein là lý thuyết thống kê miêu tả hệ lƣợng tử trong đó không giới hạn các hạt phân bố trên cùng một mức năng lƣợng, áp dụng khi hệ có hàm sóng đối xứng nhau hay nói cách khác là ứng với trƣờng hợp khi hạt có spin nguyên.

Thống kê Bose – Einstein chỉ áp dụng cho các hạt không bị giới hạn ở vị trí chiếm giữ trong một trạng thái, hay các hạt không tuân theo nguyên lí loại trừ Pauli.

Thống kê Bose – Einstein miêu tả tập hợp các hạt không phân biệt đƣợc, không tương tác với nhau ở vào một lớp các trạng thái năng lượng rời rạc khác nhau ở cân bằng nhiệt động, một đặc trƣng của các hạt tuân theo thống kê Bose – Einstein lý giải cho nguyên lý hoạt động của Laser và sự chảy không ma sát của heli siêu lỏng….

CHƯƠNG II: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN TRONG HỆ NHIỀU HẠT

2.1 Áp dụng thống kê Bose – Einstein nghiên cứu bức xạ nhiệt cân bằng

2.1.1 Bức xạ nhiệt cân bằng

Bức xạ là hiện tƣợng một vật thể phát ra các sóng điện từ lan truyền trong không gian thực chất quá trình phát và lan truyền sóng điện từ là quá trình lan truyền năng lƣợng. Con ngƣời có thể làm cho các vật chất phát sóng điện từ bằng cách truyền năng lƣợng cho nó bằng các tác dụng hóa học, cơ học… Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Phương pháp đơn giản nhất để truyền năng lƣợng cho vật thể là truyền nhiệt trực tiếp cho vật.

Bức xạ nhiệt là bức xạ điện từ đƣợc tạo ra bởi các chuyển động nhiệt của các hạt điện tích trong vật chất. Mọi vật luôn bức xạ các sóng điện từ ra môi trƣờng xung quanh.

Khi nhiệt độ của vật lớn hơn độ không tuyệt đối thì sự va chạm giữa các nguyên tử hoạt động làm thay đổi động năng của các nguyên tử hoặc phân tử. Điều này làm tăng tốc độ điện tích hoặc gây ra các dao động lƣỡng cực từ đó sản sinh ra bức xạ điện từ.

Nhiệt độ thấp sóng điện từ bức xạ có tần số nằm trong vùng hồng ngoại, nhiệt độ của vật càng tăng thì tần số cũng tăng theo. Nếu nhiệt độ của vật không đổi thì bức xạ đó đƣợc gọi là bức xạ nhiệt cân bằng.

Năng lượng truyền đi bằng bức xạ không cần thông qua một môi trƣờng trung gian mặc dù bức xạ có thể chụp, chép lại khi nó đi qua nhiều môi trường khác nhau.

Đặc trưng cho bức xạ là cƣờng độ bức xạ (phụ thuộc vào tần số hoặc bƣớc sóng). Bức xạ phát ra thông qua vùng bước sóng mà bức xạ đó phát ra.

Công suất bức xạ là năng lƣợng vật chất mất đi trong một đơn vị thời gian do vật bức xạ. Nó phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối của vật bức xạ. Nhiệt độ tuyệt đối của vật càng cao thì công suất bức xạ càng cao và ngƣợc lại.

Nếu một vật phát ra bức xạ đáp ứng các đặc tính vật lí của vật đen ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực học thì các bức xạ này đƣợc gọi là bức xạ vật đen với công thức nổi tiếng của Planck về mật độ năng lƣợng bức xạ. Định luật Planck mô tả quang phổ của bức xạ vật đen chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ của vật.

Vật đen là một vật có hệ số đặc trƣng cho bức xạ hoặc hấp thụ bằng một.

Vật đen đƣợc xem nhƣ là khí photon có spin S = do đó chúng là các hạt boson. Chúng ta sẽ đi tới công thức Planck bằng việc áp dụng thống kê Bose – Einstein cho khí photon.

Ở trạng thái cân bằng nhiệt động các photon đƣợc bức xạ và hấp thụ không ngừng, đồng thời năng lƣợng của trƣờng bức xạ không đổi. Mỗi hạt photon mang năng lượng , tần số. Vì vậy với khí photon thế hóa bằng không.

Ta được hàm phân bố photon theo các trạng thái lượng tử: có năng lượng   .

Xét trong không gian vector tổng số trạng thái photon đƣợc xác định bởi ^⃗ nằm trong khoảng (k, k+dk) trên một đơn vị thể tích là: đây thừa số 2 xuất hiện phía trƣớc vì trạng thái lƣợng tử có 2 bội suy biến g = 

Công thức phân bố cường độ bức xạ theo tần số (2.5) đƣợc gọi là công thức Planck.

2.1.2 Các định luật bức xạ Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

a. Định luật Stefan – Boltzmann về bức xạ

Năm 1879, Josef Stefan sau khi tiến hành nhiều thí nghiệm về bức xạ nhiệt dựa trên các đo đạc thực nghiệm của John Tyndall đồng thời kết hợp với những cơ sở lý thuyết do Ludwig Boltzmann suy luận ra bằng các tính toán lý thuyết vào năm 1884, sử dụng nhiệt động lực học, đã đúc kết thành định lý Stefan – Boltzman.

Định lý Stefan – Boltzmann mô tả năng lƣợng bức xạ từ một vật đen tƣơng ứng với nhiệt độ cụ thể.

Công suất bức xạ nhiệt của một vật thì tỷ lệ với lũy thừa bậc bốn của nhiệt độ tuyệt đối của vật bức xạ và diện tích bề mặt của vật bức xạ.

Trong đó: k là hằng số Boltzmann, h là hằng số Planck, c là vận tốc ánh sáng trong chân không.

Thực nghiệm chứng tỏ rằng những vật thể hấp thụ mạnh mọi bức xạ tới cũng là những phát xạ tốt và ngƣợc lại những vật thể cho sự phát xạ mạnh những bức xạ tới cũng là những vật thể phát xạ kém.

Do mọi vật đều phát ra các bức xạ nhiệt vào môi trƣờng xung quanh nên đồng thời nó cũng hấp thụ bức xạ nhiệt từ các vật thể xung quanh nó. Các vật có sự tập trung dày đặc của các phân tử có tính chất phát xạ tƣơng đƣơng nhƣ vật đen tuyệt đối. Do đó, định luật Stefan – Boltzmann rất gần gũi với thực tiễn, gắn liền với quá trình nóng lên và phát sáng của vật rắn, hay các thiên thể khí đậm đặc nhƣ mặt trời và những ngôi sao…

Ví dụ tính công suất bức xạ: Cho biết công suất bức xạ của Mặt Trời gần bằng W, bán kính Mặt Trời là 6,5.. Tính nhiệt độ tuyệt đối ở bề mặt Mặt Trời nếu có thể xem Mặt Trời là vật đen tuyệt đối . Tính nhiệt lƣợng của một diện tích là 1 trên bề mặt Trái Đất đƣợc hấp thụ ánh sáng mặt trời trong một giây. Cho biết hệ số hấp thụ của Trái Đất là . bán kính quỹ đạo của chuyển động Trái Đất quanh Mặt Trời là 1,5. km. Tính nhiệt lƣợng đó bằng Cal và eV. Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Lời giải:

Áp dụng công thức tính công suất bức xạ (đối với Mặt Trời) ta đƣợc:

Năng lƣợng Mặt Trời phân bố trên một hình cầu bán kính là khoảng cách đến Trái Đất nên trong một giây năng lƣợng đó là 0,0109J hay bằng 6,8.

b. Định luật dịch chuyển Wien.

Vào năm 1896, nhà vật lí Wilhelm Wien đã đƣa ra định luật Wien dùng để mô tả quang phổ của bức xạ nhiệt. Phƣơng trình mô tả chính xác ngắn bƣớc sóng(cao tần) phổ phát xạ nhiệt từ các vật thể nhƣng nó không phù hợp với thực nghiệm đối với bƣớc sóng(tần số thấp) phát xạ.

Wilhelm Wien đã khảo sát công suất bức xạ của vật đen tuyệt đối ( theo từng bƣớc sóng ở các nhiệt độ khác nhau. Ông dùng cách suy luận nhiệt động lực học và các số liệu thực nghiệm để dẫn đến mối liên hệ giữa công suất bức xạ và bƣớc sóng.

Tích số của bƣớc sóng Wien và nhiệt độ tuyệt đối của vật bức xạ là một hằng số không đổi.

Nếu ta xét mức phát xạ vật thể tối đa trên một đơn vị tần số thì ta phải sử dụng một hằng số tỉ lệ khác nhau nhƣng hình thức vẫn giữ nguyên: bƣớc sóng đỉnh tỉ lệ nghịch với nhiệt độ hay tần số đỉnh tỉ lệ thuận với nhiệt độ. Trong thực tiễn, động vật có vú với nhiệt độ da khoảng 300kK phát ra bức xạ cực đại ở khoảng 10 trong hồng ngoại xa. Hay khi so sánh màu sắc rõ ràng của nguồn sáng (đèn huỳnh quang, đèn LED, photoflash…) thƣờng thƣờng phải trích dẫn nhiệt độ màu, ánh sáng huỳnh quang màu xanh – trắng đôi khi đƣợc sử dụng trong văn phòng có thể có nhiệt độ màu 6500K, đèn sợi đốt màu đỏ nhạt có thể có nhiệt độ màu 2000K.

c. Định luật Reyleigh – Jeans.

Định luật Rayleigh – Jeans do nhà vật lý học Lord Rayleigh phát triển có thể đƣợc sử dụng để mô tả phổ bƣớc sóng dài của bức xạ nhiệt nhƣng không mô tả phổ bƣớc sóng ngắn của phát xạ nhiệt.

Quan điểm của vật lí cổ điển coi các nguyên tử phát xạ và hấp thụ liên tục từng lƣợng năng lƣợng bức xạ nhỏ bao nhiêu tùy ý.

Định luật Rayleigh – Jeans tƣơng đƣơng với sự phát xạ quang phổ của bức xạ điện từ nhƣ một hàm của bƣớc sóng từ vật đen có nhiệt độ nhất định.

Giả sử trong trƣờng hợp. Dựa vào công thức Planck (2.5) ta cũng có thể xác định được công thức Rayleigh – Jaens có dạng:

Trong đó: k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối.

Định luật Raylaigh – Jeans phù hợp với kết quả thực nghiệm ở bƣớc sóng lớn.

Có một điều khá thú vị liên quan đến công thức này đó là nó đƣợc tìm ra trƣớc công thức Planck vì vậy ngƣời ta nghĩ rằng nó đúng với mọi tần số. Do đó nảy sinh mâu thuẫn giữa quan sát và dự đoán của vật lí cổ điển đƣợc gọi là “thảm họa tử ngoại”.

2.2 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein

2.2.1 Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Ngƣng tụ Bose – Einstein (BEC) là trạng thái vật chất đặc biệt của khí Boson loãng, các nguyên tử đƣợc làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối. Dựa vào các điều kiện này, một phần lớn các boson tồn tại ở trạng thái lƣợng tử thấp nhất,đó là khi các boson giảm đến trạng thái không vận tốc, tại điểm mà các hiệu ứng lƣợng tử trở nên rõ rệt ở mức vĩ mô. Ta gọi hiệu ứng này là hiện tƣợng lƣợng tử mức vĩ mô.[5]

Vào những năm đầu của thế kỷ XX (1924 – 1925), hai nhà vật lí học Satyendra Nath Bose và Albert Einstein đã tiên đoán sự tồn tại của trạng thái vật chất này. Tiên đoán này dựa trên ý tƣởng về một phân bố lƣợng tử cho các photon đƣợc đƣa ra bởi ông Bose để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của vật đen tuyệt đối. Sau đó, Einstein đã mở rộng ý tƣởng của Bose cho hệ hạt vật chất.

Trong quá trình nghiên cứu các thí nghiệm đã cho thấy sự phức tạp trong hệ. Những nỗ lực không ngừng của Bose và Einstein đã cho kết quả về khái niệm khí Bose trong lý thuyết thống kê Bose – Einstein miêu tả phân bố thống kê cho những hạt đồng nhất với spin nguyên. Các hạt boson bao gồm photon cũng nhƣ các nguyên tử heli-4 đƣợc phép tồn tại ở cùng một trạng thái lƣợng tử nhƣ nhau.

Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh hay hạ nhiệt độ của các nguyên tử Boson đến nhiệt độ thấp thì hệ này sẽ tích tụ hay ngƣng tụ lại trong trạng thái lƣợng tử thấp nhất có thể và tạo ra một trạng thái vật chất mới.

Sau khi phát hiện ra tính siêu lỏng của heli-4 vào năm 1938, Fritz London đã đề xuất ra các phƣơng pháp gần đúng đầu tiên dựa vào tính siêu chảy của heli-4.

Cho đến nay trên khắp thế giới có đến 13 nguyên tố đã đƣợc làm cho ngƣng tụ. Mƣời trong số các ngƣng tụ này đƣợc tạo ra từ mƣời nhóm nguyên cứu khác nhau. Lí thuyết đầu tiên của tƣơng tác khí Bose trong lĩnh vực BEC đƣợc xây dựng vào năm 1947 bởi Bogoliubov.

Năm 1995,khí ngƣng tụ đầu tiên đã đƣợc tạo ra bới nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ tiêu chuẩn quốc gia (NIST) tại đại học Colorado ở Boulder. Họ tạo ra bằng cách làm lạnh nguyên tử khí Rubidi đến 170(nK).

Cùng thời gian đó, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra ngƣng tụ Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì đƣợc hệ 2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép ngiên cứ tính chất này của hệ. Chính thành tựu này đã giúp Cornell, Wieman và Ketterle nhận đƣợc giải Nobel Vật Lý vào năm 2001. Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Cuối cùng một ngƣng tụ nữađƣợc nghiên cứu thành công đó là ngƣng tụ của nguyên tử Hidro đã đƣợc hoàn thành vào năm 1998. Có hai kĩ thuật làm lạnh để tạo ra các nguyên tử BEC loãng trong phòng thí nhiệm bằng cách kết hợp tia laser làm lạnh và làm lạnh bay hơi. Kĩ thuật làm lạnh nhờ kết hợp tia laser dựa trên bẫy các nguyên tử có sự dịch chuyển Zeeman trong bẫy từ – quang và làm lạnh chúng đến khoảng 10 K. Sau đó đƣợc bắn phá bởi các photon trong chùm tia laser phản lan truyền trong không gian ba chiều. Kĩ thuật làm lạnh thứ 2 đƣợc thực hiện bằng cách loại bỏ đuôi năng lƣợng cao của phân bố nhiệt từ cái bẫy do đó làm giảm nhiệt độ.

Trong vật lý các hạt đƣợc chia ra làm hai lớp hạt cơ bản: lớp Boson và lớp Fermion. Boson là các hạt có spin nguyên và tuân theo thống kê Bose – Einstein. Đối với mô hình khí lí tƣởng khi nhiệt độ đạt đến độ không tuyệt đối tất cả các hạt boson có thể cùng tồn tại trên một trạng thái lƣợng tự với năng lƣợng thấp nhất. Đó chính là ngưng tụ Bose – Einstein. Trong trƣờng hợp một hệ khí lí tƣởng ba chiều tồn tại một chuyển động pha mà hệ khí sẽ ngƣng tụ ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ này. Sau khi sát hiện tƣợng Ngƣng tụ Bose các nhà vật lí thực nghiệm đã tiếp tục đạt đƣợc những thành công trong việc làm lạnh khí Fermion dù khó hơn nhƣ là đối với boson.

Áp dụng thống kê Bose – Einstein cho hệ các hạt có spin nguyên hay spin bằng không (photon, mezon,..) đƣợc gọi là các hạt Boson hay khí Bose.

Hình 4: Trạng thái ngưng tụ của nguyên tử Rubidi. Qua hình vẽ ta thấy tốc độ phân bố chuyển động của các nguyên tử theo từng vị trí, màu sắc. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và màu trắng chỉ nguyên tử chuyển động chậm. Phía bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose – Einstein. Ở giữa là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là chỉ trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. ở đỉnh màu trắng các nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí hay cùng trạng thái năng lượng. (Ảnh Internet).

Đối với khí Bose lí tƣởng, theo công thức thống kê Bose – Einstein số hạt

Ta đi xác định dN( . Theo quan điểm lƣợng tử, các hạt Bose chứa trong thể tích V có thể xem nhƣ các sóng đứng De Broglie. Do đó, ta có thể xác định dN( thông qua công thức cho ta số sóng đứng có chiều dài của vector sóng ^⃗ (k, k+dk):

Do các hạt có thể có các định hƣớng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng với một giá trị spin s của hạt là g = 2s+1. Khi đó:

Như vậy theo công thức (2.2.1) số hạt trung bình có năng lƣợng trong khoảng là: bởi vì số hạt toàn phần là N nên ta có phƣơng trình:

Đầu tiên ta có thể chứng minh thế hóa học rằng giảm dần khi nhiệt độ tăng lên                 .

Khi đó: (2.20) tiếp theo đó ta có thể chứng minh

Hàm dƣới dấu tích phân có giá trị bằng 2,31.

Do đó, khi hạ nhiệt độ xuống có thể tăng từ một giá trị âm đến 1 giá trị lớn hơn (nhƣng vẫn âm) và cuối cùng có thể đạt đến giá trị cực đại bằng không ở một

Do số hạt trong hệ là không đổi, do đó kết quả thu đƣợc phải đoán nhận vật lí một cách đặc biệt. N’ khi chỉ ra số các hạt toàn phần N chỉ có 1 phần số hạt N’ có thể phân bố theo mức năng lƣợng tƣơng ứng:

Lượng thấp nhất và các hạt còn lại sẽ đƣợc phân bố trên các mức khác theo định luật:

Hiện tƣợng vừa mô tả trong đó một số hạt của khí Bose chuyển xuống mức năng lƣợng không và hai phần của khí Bose phân bố khác nhau theo năng lƣợng. Đƣợc gọi là sự ngƣng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối, tất cả các hạt của khí Bose sẽ nằm ở mức không.

2.2.2. Đột phá mới trong vật lý với việc tạo ra siêu ánh sáng photon Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Bước đột phá trong lĩnh vực vật lý khi cho ra đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang trạng thái đốm màu đã đƣợc tạo ra bởi các nhà khoa học ngƣời Đức.

Trong tự nhiên, mọi vật chất thƣờng tồn tại ba trạng thái: rắn, lỏng, khí. Qua quá trình nghiên cứu đã phát hiện một trạng thái mới của vật chất đƣợc gọi là: “Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”. Nó từng đƣợc tạo ra vào năm 1995 ở các nguyên tử siêu lạnh của một chất khí, các nhà khoa học đã từng nghĩ việc tạo ra được trạng thái này là không khả quan ở các hạt photon.

Hình 5: Một siêu photon được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng thái vật chất được gọi tên là “trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”.(Ảnh Internet)

Nhưng bốn nhà vật lý Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và Martin Weitz thuộc Đại học Bonn ở Đức mới đây vừa thông báo đã hoàn thành nghiên cứu: các hạt trong một trạng thái ngƣng tụ Bose – Einstein truyền thống đƣợc làm lạnh tới độ không tuyệt đối , cho tới khi chúng hòa tan vào nhau và trở nên không phân biệt đƣợc, tạo thành một hạt khổng lồ. Họ đặt tên cho các hạt mới này là các siêu photon.

Các nhà khoa học từng cho rằng, các photon sẽ không thể đạt đƣợc trạng thái này vì việc vừa làm lạnh ánh sáng, vừa ngƣng tụ nó cùng lúc là điều không thể xảy ra. Do photon có khối lƣợng bằng không nên nó dễ dàng bị hấp thụ vào môi trƣờng xung quanh và biến mất khi chúng bị làm lạnh.

Bốn nhà vật lý Đức cuối cùng đã tìm đƣợc cách làm lạnh các hạt photon mà không làm giảm số lƣợng của chúng. Để duy trì số lƣợng hạt photon các nhà khoa học đã chế tạo ra một thùng chứa làm bằng những tấm gƣơng đặt vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng 1 micromet. Giữa các gƣơng đặt các phần tử “thuốc nhuộm”(một lƣợng nhỏ thuốc nhuộm màu). Khi các photon va chạm với những phân tử này, chúng bị hấp thụ và sau đó đƣợc phát tán. Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Các tấm gƣơng đã “tóm” các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến – lui trong một trạng thái bị giới hạn. Tại quá trình đó, các hạt photon trao đổi nhiệt lƣợng mỗi khi chúng va chạm vào 1 phân tử thuốc nhuộm. Sau đó, chúng bị làm lạnh tới mức nhiệt độ phòng. Dù chỉ ở nhiệt độ phòng cũng đã đủ lạnh để các photon kết lại thành một hạt khổng lồ hay đây chính là trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein.

Trong bài viết trên tạp chí Nature (2010), nhà vật lý James Anglin thuộc trƣờng Đại học kỹ thuật Kaiserslautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên là “một thành tựu mang tính bước ngoặt”. Công trình của các nhà khoa học này có thể giúp mang tới những ứng dụng trong việc chế tạo tia laser mới, với khả năng sinh ra ánh sáng có bƣớc sóng vô cùng ngắn trong các dải tia X hoặc tia cực tím. Để làm đƣợc điều này chắc chắn phải mất một thời gian.[5]

2.2.3 Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố Erbium.

Các chất khí lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một hệ lí tƣởng để nghiên cứu những hiện tƣợng vật lí cơ bản. Với việc lựa chọn Erbium – 1 một nguyên tố lạ của đội nghiên cứu hàng đầu là Francesca Felaino thuộc viện Vật lí thực nghiệm, Đại học Innsbruck. Đó là vì những tính chất đặc biệt của nó mang lại những khả năng mới để nghiên cứu trong lĩnh vực vật lí lƣợng tử.

Đội nghiên cứu của Francesca Ferlaino là nhóm đầu tiên thành công một ngƣng tụ của nguyên tố lạ Erbium. “Nguyên tố Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh, những tính chất này dẫn đến một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử” Ferlaino cho hay.

Bà cùng với đội nghiên cứu của mình đã tìm ra một phƣơng pháp đơn giản để làm lạnh nguyên tử lạ này đó là dùng tia laser và kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối, một đám mây khoảng 70000 nguyên tử Erbium tạo ra một ngƣng tụ Bose – Einstein từ tính. Trong một ngƣng tụ, các hạt mất đi tính đơn lẻvà đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng.

Cesium, stontium và erbium là ba nguyên tố hóa học lạ mà các nhà vật lí Innsbruck đã ngƣng tụ thành công. Sự ngƣng tụ của nguyên tố Cesium đƣợc Rudolf Grimm và nhóm của ông thực hiên thành công vào năm 2002.

Năm 2009, Florian Schreck, một thành viên của nhóm Rudolf Grimm đã thực hiện hóa một ngƣng tụ của strontium.

Tính đến nay đã có tổng cộng 13 nguyên tố đã đƣợc làm ngƣng tụ, mƣời trong các nguyên tố này đƣợc thực hiện thành công bởi mƣời nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau. Ngƣng tụ mới của Erbium là một hình mẫu lý tƣởng để bắt chƣớc những hiệu ứng phát sinh từ sự tƣơng tác tầm xa – cơ sở của cơ chế động lực học phức tạp có mặt trong tự nhiên. Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

2.3 Lý thuyết nhiệt dung của vật rắn

Lý thuyết cổ điển cho rằng nhiệt dung của vật rắn không phụ thuộc vào nhiệt độ. (2.24)

Nếu xét với 1mol vật rắn, có số nguyên tử bằng số Avogradro thì nhiệt dung của nó đƣợc xác định bằng nhiệt dung mol của vật rắn:

R= 3.18 là hằng số chất khí.

Đó là nội dung của định luật Dulong – Petit tìm ra bằng thực nghiệm. Điều này là hoàn toàn dễ hiểu vì khi ở nhiệt độ cao nên áp dụng thống kê cổ điển là vô cùng hợp lý. Vậy khi ở nhiệt độ thấp thì sao? Để giải thích đƣợc thì chúng ta phải đi áp dụng các thống kê lƣợng tử.

2.3.1 Lý thuyết nhiệt dung của Einstein.

Vào năm 1907, Einstein đƣa ra lý thuyết nhiệt dung dựa trên quan điểm lƣợng tử nhằm khắc phục những thiếu sót của lý thuyết nhiệt dung cổ điển, cho phép giải thích có kết quả sự giảm của nhiệt dung riêng theo nhiệt độ.

Einstein cho rằng chuyển động của các nguyên tử trong vật rắn chính là các chuyển động của các dao động tử điều hòa ba chiều có tần số gọi là tần số Einstein. Các dao động tử điều hòa một chiều với tần số có phổ năng lƣợng gián đoạn. Năng lƣợng trung bình của dao động tử đƣợc xác định:

̅= k lnZ với Z = ∑ = 2.25)

Năng lƣợng trung bình trong hệ là tổng năng lƣợng của 3N dao động tử (mỗi nguyên tử có ba bậc tự do) có giá trị là:

E = 3N  ̅= 3N{

Ta tính nhiệt dung theo định lý Einstein:

Qua đó, ta thấy rằng theo lý thuyết Einstein thì nhiệt dung của vật rắn phụ thuộc vào các nhiệt độ khác nhau.

2.3.2 Lý thuyết nhiệt dung Debye. Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein

Vào năm 1912, Debye đã đƣa ra lý thuyết mới về nhiệt dung chất rắn, lý thuyết này phù hợp nhất, đúng đắn nhất cho nhiệt dung ở nhiệt độ thấp.

Debye cho rằng các nguyên tử khác nhau dao động bên trong vật rắn với các tần số khác nhau. Coi vật rắn là môi trƣờng liên tục nên sự truyền dao động trong vật rắn là sự truyền sóng âm.

Sóng âm truyền trong vật rắn có thể có3 loại là sóng dọc với vận tốc và sóng ngang phân cực, sóng ngang độc lập với vận tốc      .

Giả sử ta xét hệ 3N dao động tử điều hòa liên kết đƣợc thay thế bằng tập hợp 3N dao động chuẩn (hay còn gọi là “mốt”).

Tần số cực đại được gọi là tần số Debye.

Năng lƣơng trung bình của mỗi dao động chuẩn là

Số hạng thứ nhất của vế phải không phụ thuộc vào nhiệt độ T nên nhiệt dung xác định như sau:

Vậy ta có: (C_v)_mol = 3R

Kết luận: Trong vùng nhiệt độ cao lý thuyết debye phù hợp với định luật dulong – petit.

Vùng nhiệt độ thấp:

Khi đó rất lớn; y rất lớn thì:

Kết luận: Trong vùng nhiệt độ rất thấp lý thuyết debye có kết quả hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm.

KẾT LUẬN

Khóa luận tốt nghiệp “Thống kê Bose – Einstein và các ứng dụng trong hệ nhiều hạt” hoàn thành đã thu đƣợc các kết quả sau:

Tổng quan những kiến thức cơ bản nhất và các phƣơng pháp nghiên cứu hệ nhiều hạt, tìm hiểu đƣợc các đặc trƣng vật lý của hệ hạt Boson.

Tổng quan về thống kê Bose – Einstein: xây dựng thống kê Bose – Einstein cho hệ hạt đồng nhất. Từ đó đƣa ra ngƣng tụ Bose – Einstein đối với khí Bose lí tƣởng, nghiên cứu bức xạ nhiệt cân bằng, và nhiệt dung của vật rắn. Khóa luận: Tổng quan về thống kê Bose – Einstein